Aproksymacja trygonometryczna
W zagadnieniach aproksymacji często spotykamy się z przypadkiem, gdy funkcja f jest okresowa. Taką funkcję wygodniej i lepiej jest aproksymować nie wielomianami algebraicznymi, a wielomianami trygonometrycznymi . (Jeżeli funkcja f (x) jest funkcją ciągłą o okresie 
, wielomian trygonometryczny ma postać
gdzie 
są współczynnikami trygonometrycznymi Fouriera funkcji f względem ortogonalnego układu funkcji bazowych[4]. Dokładne omówienie metody można znaleźć w [ Żakowski W., Kołodziej W., " Matematyka Cz. 2 ", W - wa, WNT 1992 ].
Funkcję f 
,tzn. funkcję całkowalną z kwadratem aproksymujemy jej sumę Fouriera
, 
(7)
gdzie
k = 0,1,2,...n, (8)
k = 1,2,...n. (9)
W przypadku funkcji parzystej:
(10)
zaś w przypadku funkcji nieparzystej:
(11)
Zachodzi równość
(12)
Przykład 1. Aproksymować funkcję 
w przedziale 
funkcjami trygonometrycznymi.
Według wzoru (7) otrzymujemy:
gdy k parzyste,
gdy k nieparzyste, (13)
a więc
(14)
W wielu przypadkach ważna jest nie tylko zbieżność średniokwadratowa (12) szeregu Fouriera (7), a również zbieżność jednostajna. Poniższe dwa twierdzenia podają związek między tymi dwoma rodzajami zbieżności.
Tw. 1.
Ze zbieżności jednostajnej aproksymacji wynika również zbieżność średniokwadratowa tej aproksymacji.
Istnieją różne warunki ( kryteria ), które powinna spełniać funkcja f(x), aby szereg Fouriera był zbieżny jednostajnie. Przytoczę jeden z takich warunków.
Szereg Fouriera funkcji f(x) jest zbieżny do tej funkcji jednostajnie w przedziale , jeśli w nieco szerszym przedziale 
funkcja f jest różniczkowalna i ma ograniczoną pochodną 
[5]
komentarze
Copyright © 2008-2010 EPrace oraz autorzy prac.